Séminaire de Mathématiques Discrètes, Optimisation et Décision

Michel Grabisch (Université Paris 1 - Centre d'Economie de la Sorbonne)

Le demis-treillis des règles de calcul pour le maximum symétrique

Le maximum symétrique est une extension du maximum usuel, de telle sorte que 0 est l'élément neutre et -x le symétrique de x(i.e., max(0,x)=x et max(x,-x)=0 pour tout x,x' dans Z ou R). Cependant, toute extension de ce type est nécessairement non-associative. Par conséquent, il est nécessaire de definir des règles de calcul pour calculer le max d'une séquence de plus de 2 éléments, c'est-à-dire une façon systématique de mettre des parenthèses.

Il est facile de voir qu'il y a une infinité de telles règles de calcul, et notre but est d'étudier l'ensemble de ces règles. En caractérisant une règle de calcul par l'ensemble des termes détruits dans la séquence de nombres à agréger, il est possible de définir une relation d'ordre partiel sur les règles de calcul: on dira que R est plus petit que R' si R détruit toujours plus de termes que R dans une séquence. On montre alors que l'ensemble des règles de calcul est un inf-demi-treillis, avec une infinité d'éléments maximaux et une infinité d'atome. Par ailleurs, sa hauteur est infinie non dénombrable.

(travail en collaboration avec Miguel Couceiro, Université du Luxembourg)
 

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